Question

12．若?x₁，x₂，x₃∈D，都有f（x₁）+f（x₂）≥f（x₃），則稱(chēng)f（x）為區(qū)間D上的等差函數(shù)．若函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+m為區(qū)間[0，2]上的等差函數(shù)，則m的取值范圍[-$\frac{11}{12}$，+∞）．

Answer 1

分析 （$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x=t，由x得范圍求得t的范圍，得到函數(shù)f（x）的最值，結(jié)合新定義可得2f（x）_min≥f（x）_max，由此求得m的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+m
=$\frac{1}{1-（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}}+$（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+m，
令（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x=t，
∵x∈[0，2]，∴t=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x=$[（\frac{1}{2}）^{x}]^{2}-（\frac{1}{2}）^{x}$∈[$-\frac{1}{4}，0$]，
∴t+1∈[$\frac{3}{4}，1$]，
則y=f（x）=$\frac{1}{t+1}+t+m$=$t+1+\frac{1}{t+1}+m$-1，
∴${y}_{min}=m+1，{y}_{max}=\frac{13}{12}+m$．
∵函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+m為區(qū)間[0，2]上的等差函數(shù)，
∴由等差函數(shù)的定義得2（1+m）≥$\frac{13}{12}+m$，解得：m$≥-\frac{11}{12}$．
∴m的取值范圍是[-$\frac{11}{12}，+∞$）．
故答案為：[-$\frac{11}{12}，+∞$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查利用換元法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬有一定難度問(wèn)題．