Question

4．若a，b為不等于1的正數(shù)，且a＜b，試比較log_ab、log_a$\frac{1}$、log_b$\frac{1}$．

Answer 1

分析 分類討論，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點比較log_ab、log_a$\frac{1}$、log_b$\frac{1}$的大小關(guān)系．

解答 解：由于a，b為不等于1的正數(shù)，且a＜b，
①當(dāng)a＞1時，∵b＞a＞1，0＜$\frac{1}$＜$\frac{1}{a}$＜1，log_ab∈（1，+∞）、log_a$\frac{1}$＜${log}_{a}\frac{1}{a}$=-1、log_b$\frac{1}$=-1．
可得，log_ab＞log_b$\frac{1}$＞log_a$\frac{1}$．
②當(dāng)0＜a＜1時，若1＞b＞a＞0，則 1＜$\frac{1}$＜$\frac{1}{a}$，
∴l(xiāng)og_ab=${log}_{\frac{1}{a}}\frac{1}$∈（0，1）、log_a$\frac{1}$∈（-1，0）、log_b$\frac{1}$=-1，
∴l(xiāng)og_ab＞log_a$\frac{1}$＞log_b$\frac{1}$．
若b＞1＞a＞0，則 1＜$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$∈（0，1），
∴l(xiāng)og_ab＜-1、log_a$\frac{1}$＞1、log_b$\frac{1}$=-1，
∴l(xiāng)og_a$\frac{1}$＞log_b$\frac{1}$＞log_ab．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意分類的層次，屬于中檔題．