Question

18．已知F₁（-$\frac{5}{2}$，0），F(xiàn)₂（$\frac{5}{2}$，0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1的共同焦點(diǎn)，點(diǎn)P是它們的一個交點(diǎn)，則△PF₁F₂的面積為$\frac{3\sqrt{11}}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)P為雙曲線和橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，可得m-n=4，m+n=6，求得m=5，n=1，運(yùn)用余弦定理和面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P為雙曲線和橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由雙曲線的定義可得，m-n=2×2=4，
由橢圓的定義可得m+n=2×3=6，
解得m=5，n=1，
又|F₁F₂|=5，由余弦定理可得，
cos∠F₁PF₂=$\frac{{5}^{2}+{1}^{2}-{5}^{2}}{2×5×1}$=$\frac{1}{10}$，
即有sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-\frac{1}{100}}$=$\frac{3\sqrt{11}}{10}$，
則△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$mnsin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$×5×1×$\frac{3\sqrt{11}}{10}$
=$\frac{3\sqrt{11}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{11}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理和三角形的面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．