Question

6．已知圓C過點(diǎn)A（1，4），B（3，2），且圓心在x軸上，求圓C的方程．

Answer 1

分析 法一：設(shè)圓C：（x-a）²+y²=r²，利用待定系數(shù)法能求出圓C的方程．
法二：設(shè)圓C：x²+y²+Dx+F=0，利用待定系數(shù)法能求出圓C的方程．
法三：由已知圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，AB的中點(diǎn)為（2，3），由此能求出圓心C的坐標(biāo)和半徑，從而能求出圓C的方程．

解答 解法一：設(shè)圓C：（x-a）²+y²=r²，（1分）
則$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^2}+{4^2}={r^2}\\{（3-a）^2}+{2^2}={r^2}\end{array}\right.$（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\{r^2}=20.\end{array}\right.$所以圓C的方程為（x+1）²+y²=20．（12分）
解法二：設(shè)圓C：x²+y²+Dx+F=0，（1分）
則$\left\{\begin{array}{l}17+D+F=0\\ 13+3D+F=0\end{array}\right.$（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}D=2\\ F=-19.\end{array}\right.$所以圓C的方程為x²+y²+2x-19=0．（12分）
解法三：因?yàn)閳AC過兩點(diǎn)A（1，4），B（3，2），所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，
又因?yàn)?{k_{AB}}=\frac{4-2}{1-3}=-1$，所以k_l=1，又AB的中點(diǎn)為（2，3），
故AB的垂直平分線l的方程為y-3=x-2，即y=x+1．
又圓心C在x軸上，所以圓心C的坐標(biāo)為（-1，0），（6分）
所以半徑$r=|AC|=\sqrt{{{（1+1）}^2}+{4^2}}=\sqrt{20}$，
所以圓C的方程為（x+1）²+y²=20．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．