Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+|4x-a|（a為常數(shù)）．若f（x）的最小值為6，則a的值為-10或10．

Answer 1

分析 去掉絕對(duì)值，討論a=0，可得x=0處取得最小值；a＞0，0＜a≤8時(shí)，a＞8時(shí)，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得最小值，討論a＜0，-8≤a＜0時(shí)，a＜-8時(shí)，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最小值，解方程可得a的值．

解答 解：f（x）=x²+|4x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-a，x≥\frac{a}{4}}\\{{x}^{2}-4x+a，x＜\frac{a}{4}}\end{array}\right.$，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在x≥0遞增，在x＜0遞減，
可得x=0處取得最小值，且為0；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x≥$\frac{a}{4}$遞增，
若$\frac{a}{4}$≤2，即0＜a≤8時(shí)，f（x）遞減，
可得x=$\frac{a}{4}$處取得最小值，且為$\frac{{a}^{2}}{16}$，由$\frac{{a}^{2}}{16}$=6，解得a=4$\sqrt{6}$＞8不成立；
若$\frac{a}{4}$＞2，即a＞8時(shí)，f（x）在x＜2遞減，2＜x＜$\frac{a}{4}$遞增，
即有x=2處取得最小值，且為4-8+a=6，解得a=10；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在x＜$\frac{a}{4}$遞減，
若$\frac{a}{4}$≥-2，即-8≤a＜0時(shí)，f（x）在x≥$\frac{a}{4}$遞增，
可得x=$\frac{a}{4}$處取得最小值，且為$\frac{{a}^{2}}{16}$，由$\frac{{a}^{2}}{16}$=6，解得a=-4$\sqrt{6}$＜-8不成立；
若$\frac{a}{4}$＜-2，即a＜-8時(shí)，f（x）在$\frac{a}{4}$＜x＜-2遞減，在x＞-2遞增，
即有x=-2處取得最小值，且為4-8-a=6，解得a=-10．
綜上可得a的取值為-10或10．
故答案為：-10或10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．