7.已知函數(shù)f(x)=x2+|4x-a|(a為常數(shù)).若f(x)的最小值為6,則a的值為-10或10.

分析 去掉絕對(duì)值,討論a=0,可得x=0處取得最小值;a>0,0<a≤8時(shí),a>8時(shí),討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,可得最小值,討論a<0,-8≤a<0時(shí),a<-8時(shí),討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,即可得到最小值,解方程可得a的值.

解答 解:f(x)=x2+|4x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-a,x≥\frac{a}{4}}\\{{x}^{2}-4x+a,x<\frac{a}{4}}\end{array}\right.$,
當(dāng)a=0時(shí),f(x)在x≥0遞增,在x<0遞減,
可得x=0處取得最小值,且為0;
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x≥$\frac{a}{4}$遞增,
若$\frac{a}{4}$≤2,即0<a≤8時(shí),f(x)遞減,
可得x=$\frac{a}{4}$處取得最小值,且為$\frac{{a}^{2}}{16}$,由$\frac{{a}^{2}}{16}$=6,解得a=4$\sqrt{6}$>8不成立;
若$\frac{a}{4}$>2,即a>8時(shí),f(x)在x<2遞減,2<x<$\frac{a}{4}$遞增,
即有x=2處取得最小值,且為4-8+a=6,解得a=10;
當(dāng)a<0時(shí),f(x)在x<$\frac{a}{4}$遞減,
若$\frac{a}{4}$≥-2,即-8≤a<0時(shí),f(x)在x≥$\frac{a}{4}$遞增,
可得x=$\frac{a}{4}$處取得最小值,且為$\frac{{a}^{2}}{16}$,由$\frac{{a}^{2}}{16}$=6,解得a=-4$\sqrt{6}$<-8不成立;
若$\frac{a}{4}$<-2,即a<-8時(shí),f(x)在$\frac{a}{4}$<x<-2遞減,在x>-2遞增,
即有x=-2處取得最小值,且為4-8-a=6,解得a=-10.
綜上可得a的取值為-10或10.
故答案為:-10或10.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法,注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法,討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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