Question

9．已知定點(diǎn)O（0，0），A（3，0），動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O距離與到定點(diǎn)A的距離的比值是$\frac{1}{\sqrt{λ}}$．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線D．F，G是曲線D上不同的兩點(diǎn)，對于定點(diǎn)Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．試問無論F，G兩點(diǎn)的位置怎樣，直線FG能恒和一個(gè)定圓相切嗎？若能，求出這個(gè)定圓的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由$\sqrt{λ}$|PO|=|PA|代入坐標(biāo)整理得（λ-1）x²+（λ-1）y²+6x-9=0，對λ分類討論可得；
（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，曲線D的方程是x²+y²+2x-3=0，則由面積相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2，由點(diǎn)到直線的距離公式以及直線和圓的位置關(guān)系可得．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則由$\sqrt{λ}$|PO|=|PA|得λ（x²+y²）=（x-3）²+y²，
整理得：（λ-1）x²+（λ-1）y²+6x-9=0，
∵λ＞0，∴當(dāng)λ=1時(shí)，方程可化為：2x-3=0，方程表示的曲線是線段OA的垂直平分線；
當(dāng)λ≠1時(shí)，則方程可化為，$（x+\frac{3}{λ-1}）^{2}$+y²=$（\frac{3\sqrt{λ}}{λ-1}）^{2}$，
即方程表示的曲線是以（-$\frac{3}{λ-1}$，0）為圓心，$\frac{3\sqrt{λ}}{|λ-1|}$為半徑的圓．
（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，曲線D的方程是x²+y²+2x-3=0，
故曲線D表示圓，圓心是D（-1，0），半徑是2．
設(shè)點(diǎn)Q到直線FG的距離為d，∠FQG=θ，
則由面積相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2．
即d=$\frac{4sinθ}{|FG|}$=$\frac{4sinθ}{2rsinθ}$=1．于是頂點(diǎn)Q到動(dòng)直線FG的距離為定值，
即動(dòng)直線FG與定圓（x+3）²+y²=1相切．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，涉及分類討論的思想，屬中檔題．