Question

4．已知函數(shù)f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的減區(qū)間；再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=cosx（sinx•$\frac{1}{2}$+cosx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
（1）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$ 時，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最大值為 $\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．