14．已知函數(shù)f（x）=loga$\frac{x-5}{x+5}$，（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m使得f（x+2）+f（m-x）為常數(shù)？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

分析 （1）f（x）=loga$\frac{x-5}{x+5}$為奇函數(shù)，求函數(shù)的定義域并利用奇函數(shù)的定義證明即可；
（2）假設(shè)存在這樣的m，則f（x+2）+f（m-x）=loga$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$，即$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$為常數(shù)，設(shè)為k，整理由多項(xiàng)式系數(shù)相等可得m和k的方程組，解方程組可得．

解答 解：（1）f（x）=loga$\frac{x-5}{x+5}$為奇函數(shù)，下面證明：
解$\frac{x-5}{x+5}$＞0可得定義域?yàn)閧x|x＜-5或x＞5}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=loga$\frac{x+5}{x-5}$=-loga$\frac{x-5}{x+5}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）假設(shè)存在這樣的m，則f（x+2）+f（m-x）
=loga$\frac{x-3}{x+7}$•$\frac{-x+m-5}{-x+m+5}$=loga$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$，
∴$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$為常數(shù)，設(shè)為k，
則（k-1）x2+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0對(duì)定義域內(nèi)的x恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-1=0}\\{（m-2）（1-k）=0}\\{-3（m-5）-7k（m+5）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-2}\end{array}\right.$
∴存在這樣的m=-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及恒成立問(wèn)題，屬中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．已知集合A={x|2x＞$\frac{1}{2}$}，B={x|lgx＞0}，則A∩（∁RB）=（　�。�
A．（1，+∞）B．（0，1]C．（-1，1]D．（-1，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．下列命題中真命題是（　�。�
A．若m⊥α，m?β，則α⊥β
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β
C．若α∩β=m，n∥m，則n∥α且n∥β
D．若m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

2．已知x、y滿則$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，則a的值是$\frac{1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．已知定點(diǎn)O（0，0），A（3，0），動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O距離與到定點(diǎn)A的距離的比值是$\frac{1}{\sqrt{λ}}$．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線D．F，G是曲線D上不同的兩點(diǎn)，對(duì)于定點(diǎn)Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．試問(wèn)無(wú)論F，G兩點(diǎn)的位置怎樣，直線FG能恒和一個(gè)定圓相切嗎？若能，求出這個(gè)定圓的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

19．函數(shù)$f（x）=a{log_2}x+a•{4^x}+3$在區(qū)間$（\frac{1}{2}，1）$上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．a＜-3B．$-\frac{3}{2}＜a＜-\frac{3}{4}$C．$-3＜a＜-\frac{3}{4}$D．$-\frac{3}{2}＜a＜-\frac{1}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

6．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+cosα}\\{y=8+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求曲線C1和C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）在C2上是否存在點(diǎn)P，過(guò)P作C1的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得△ABP為等邊三角形？若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ，
直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=m+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C上至少3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{x}{2x+1}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明；
（2）設(shè)g（x）=tx+$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，3]時(shí)，g（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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