14．已知函數(shù)f（x）=loga$\frac{x-5}{x+5}$，（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）是否存在實數(shù)m使得f（x+2）+f（m-x）為常數(shù)？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

分析 （1）f（x）=loga$\frac{x-5}{x+5}$為奇函數(shù)，求函數(shù)的定義域并利用奇函數(shù)的定義證明即可；
（2）假設(shè)存在這樣的m，則f（x+2）+f（m-x）=loga$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$，即$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$為常數(shù)，設(shè)為k，整理由多項式系數(shù)相等可得m和k的方程組，解方程組可得．

解答 解：（1）f（x）=loga$\frac{x-5}{x+5}$為奇函數(shù)，下面證明：
解$\frac{x-5}{x+5}$＞0可得定義域為{x|x＜-5或x＞5}，關(guān)于原點對稱，
f（-x）=loga$\frac{x+5}{x-5}$=-loga$\frac{x-5}{x+5}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）假設(shè)存在這樣的m，則f（x+2）+f（m-x）
=loga$\frac{x-3}{x+7}$•$\frac{-x+m-5}{-x+m+5}$=loga$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$，
∴$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$為常數(shù)，設(shè)為k，
則（k-1）x2+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0對定義域內(nèi)的x恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-1=0}\\{（m-2）（1-k）=0}\\{-3（m-5）-7k（m+5）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-2}\end{array}\right.$
∴存在這樣的m=-2

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及恒成立問題，屬中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．已知集合A={x|2x＞$\frac{1}{2}$}，B={x|lgx＞0}，則A∩（∁RB）=（　　）
A．（1，+∞）B．（0，1]C．（-1，1]D．（-1，1）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

5．下列命題中真命題是（　　）
A．若m⊥α，m?β，則α⊥β
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β
C．若α∩β=m，n∥m，則n∥α且n∥β
D．若m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．已知x、y滿則$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，則a的值是$\frac{1}{2}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知定點O（0，0），A（3，0），動點P到定點O距離與到定點A的距離的比值是$\frac{1}{\sqrt{λ}}$．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當λ=4時，記動點P的軌跡為曲線D．F，G是曲線D上不同的兩點，對于定點Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．試問無論F，G兩點的位置怎樣，直線FG能恒和一個定圓相切嗎？若能，求出這個定圓的方程；若不能，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．函數(shù)$f（x）=a{log_2}x+a•{4^x}+3$在區(qū)間$（\frac{1}{2}，1）$上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．a＜-3B．$-\frac{3}{2}＜a＜-\frac{3}{4}$C．$-3＜a＜-\frac{3}{4}$D．$-\frac{3}{2}＜a＜-\frac{1}{2}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+cosα}\\{y=8+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；若以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，直線C2的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求曲線C1和C2的直角坐標方程；
（2）在C2上是否存在點P，過P作C1的兩條切線，切點為A，B，使得△ABP為等邊三角形？若存在求出P點坐標，若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ，
直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=m+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C上至少3個點到直線l的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{x}{2x+1}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明；
（2）設(shè)g（x）=tx+$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，當x∈（$\frac{1}{2}$，3]時，g（x）＞0恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案