Question

18．平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow{b，}$$\overrightarrow e$滿足$|{\overrightarrow e}|=1，\overrightarrow a•\overrightarrow e=1，\overrightarrow b•\overrightarrow e=2，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}$|=2，當(dāng)$|{\overrightarrow a}$|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，$|{\overrightarrow b}$|=$\frac{\sqrt{19}}{2}$時(shí)，$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由題意建立直角坐標(biāo)系．由|$\overrightarrow{e}$|=1，不妨設(shè)$\overrightarrow{e}$=（1，0）．結(jié)合題意及投影概念可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow$=（2，n）．利用|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，可得（m+n）²=3+4mn≥0，再利用數(shù)量積運(yùn)算$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2+mn即可得出$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值，并求得m，n的值，進(jìn)一步得到$|{\overrightarrow a}$|，|$\overrightarrow$|．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
∵$|\overrightarrow{e}|=1$，∴不妨設(shè)$\overrightarrow{e}=（1，0）$，
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}=1$，$\overrightarrow•\overrightarrow{e}=2$，
∴可設(shè)$\overrightarrow{a}=（1，m），\overrightarrow=（2，n）$．
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（-1，m-n）．
∵$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=2$，
∴$\sqrt{1+（m-n）^{2}}=2$，化為（m-n）²=3，
∴（m+n）²=3+4mn≥0，
∴mn≥-$\frac{3}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=-n=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2+mn≥2-$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$．
此時(shí)$\overrightarrow{a}=（1，±\frac{\sqrt{3}}{2}），\overrightarrow=（2，±\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{4+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{19}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}，\frac{\sqrt{19}}{2}，\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和解決問題的能力，由已知結(jié)合投影概念設(shè)出向量坐標(biāo)是解答該題的關(guān)鍵，屬難題．