Question

2．在直角坐標系xOy中，直線l的方程是y=8，圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線l和圓C的極坐標方程；
（2）射線OM：θ=α（其中0＜α＜$\frac{π}{2}$）與圓C交于O，P兩點，與直線l交于點M，直線ON：θ=α+$\frac{π}{2}$與圓C交于O，Q兩點，與直線l交于點N，求$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l的方程是y=8，利用y=ρsinθ即可化為極坐標方程．
圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為普通方程：x²+y²-4x=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可化為極坐標方程．
2）$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{4cosα}{\frac{8}{sinα}}$•$\frac{-4cos（α+\frac{π}{2}）}{\frac{8}{sin（α+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{1}{16}si{n}^{2}（2α）$（2α∈（0，π））．即可得出．

解答 解：（1）直線l的方程是y=8，化為極坐標方程為：ρsinθ=8．
圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為普通方程：（x-2）²+y²=4，
展開為：x²+y²-4x=0，化為極坐標方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{4cosα}{\frac{8}{sinα}}$•$\frac{-4cos（α+\frac{π}{2}）}{\frac{8}{sin（α+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{1}{16}si{n}^{2}（2α）$≤$\frac{1}{16}$（2α∈（0，π））．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值為$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查了極坐標系下的直線與曲線相交弦長問題、參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．