Question

【題目】已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)面平面，.，若點(diǎn)M為的中點(diǎn)，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（ ）

（1）平面 （2）四棱錐的體積為12

（3）平面 （4）四棱錐外接球的表面積為

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

作出圖象，根據(jù)相關(guān)知識(shí)即可判斷各命題的真假．

作出圖象，如圖所示：，

對(duì)于（1），因?yàn)閭?cè)面平面，而底面為矩形，所以平面，即有，而，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，所以，故平面，（1）正確；

對(duì)于（2），因?yàn)閭?cè)面平面，，所以點(diǎn)到平面的距離為，而點(diǎn)M為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，故四棱錐的體積為，（2）正確；

對(duì)于（3），取中點(diǎn)，連接，所以，且，而，

故，且，因此四邊形為梯形，所以與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，故直線與平面相交，所以（3）不正確；

對(duì)于（4），根據(jù)四棱錐的側(cè)面為直角三角形，底面為矩形，結(jié)合球的幾何特征可知，四棱錐的外接球的球心在過底面的外心且與底面垂直的直線上，同樣，四棱錐的外接球的球心在過側(cè)面的外心(的中點(diǎn))且與側(cè)面垂直的直線上，所以四棱錐的外接球的球心即是底面的外心，外接球半徑為，故四棱錐外接球的表面積為，（4）正確．

故選：C．