Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-e{x^2}$+mx+1（m∈R），g（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）若m=-3e²，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)任意x₁，x₂∈R⁺，若g（x₁）＜f′（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）分離參數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≥-x²+2ex在[0，3]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出m的范圍即可；
（Ⅲ）只需求出g（x）（x∈R⁺）的最大值小于f′（x）的最小值即可（x∈R⁺），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=-3e²時(shí)，由函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-e{x^2}-3{e^2}x+1$，
得f′（x）=x²-2ex-3e²=（x-3e）（x+e）．…（1分）
令f'（x）＞0，得x＜-e或x＞3e，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-e）和（3e，+∞）．…（2分）
令f'（x）＜0，得-e＜x＜3e，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-e，3e）．…（3分）
所以當(dāng)x=-e時(shí)，函數(shù)f（x）的極大值為$f（-e）=\frac{5}{3}{e^3}+1$；
當(dāng)x=3e時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值為f（3e）=-9e³+1．…（5分）
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上單調(diào)遞增，可得
函數(shù)f'（x）≥0對(duì)任意x∈[0，3]恒成立，即：x²-2ex+m≥0．
所以m≥-x²+2ex．…（6分）
設(shè)h（x）=-x²+2ex，x∈[0，3]．…（7分）
因?yàn)楹瘮?shù)h（x）在區(qū)間[0，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，3]上是減函數(shù)，
所以h（x）≤h（e）=e²．…（8分）
因此m≥e²．…（9分）
（Ⅲ）因?yàn)閷?duì)任意x₁，${x_2}∈{R^+}$，若g（x₁）＜f'（x₂）恒成立，
所以只要g（x）（x∈R⁺）的最大值小于f′（x）的最小值即可（x∈R⁺）．…（10分）
由$g（x）=\frac{lnx}{x}$得$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}（x＞0）$，
令g'（x）＞0，得0＜x＜e，
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）．
令g'（x）＜0，得x＞e，
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．
因此$g（x）≤g（e）=\frac{1}{e}$．…（11分）
由f'（x）=x²-2ex+m，（x＞0），
得到f'（x）在（0，e）上是減函數(shù)，在（e，+∞）上是增函數(shù)．
因此f'（x）≥f'（e）=-e²+m．…（12分）
即：$\frac{1}{e}＜-{e^2}+m$．…（13分）
因此$m＞\frac{1}{e}+{e^2}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．