Question

7．設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{3}{4}$x，且過點(diǎn)（4$\sqrt{2}$，-3）．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過點(diǎn)A（8，3）交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)為A，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），求得漸近線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a，b的方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P（m，n），Q（s，t），代入雙曲線的方程，作差，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，化簡整理可得直線l的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求方程．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{32}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{^{2}}$=1，
解得a=4，b=3，
即有雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）設(shè)P（m，n），Q（s，t），可得
$\frac{{m}^{2}}{16}$-$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，$\frac{{s}^{2}}{16}$-$\frac{{t}^{2}}{9}$=1，
兩式相減可得，$\frac{（m-s）（m+s）}{16}$=$\frac{（n-t）（n+t）}{9}$，
PQ的中點(diǎn)為A，可得m+s=16，n+t=6，
即有直線l的斜率為k=$\frac{n-t}{m-s}$=$\frac{9（m+s）}{16（n+t）}$=$\frac{9×16}{16×6}$=$\frac{3}{2}$，
可得直線l的方程為y-3=$\frac{3}{2}$（x-8），
即為3x-2y-18=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，以及漸近線方程，考查直線方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法，運(yùn)用直線的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．