Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=2，且${S_{n-1}}={a_n}（n≥2，n∈{N^*}）$．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由已知條件分別取n=2，3，4，能依次求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，當(dāng)n=1時(shí)，和n=2時(shí)，驗(yàn)證猜想成立，然后假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，由此推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立，由此能證明${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，且${S_{n-1}}={a_n}（n≥2，n∈{N^*}）$．
∴a₂=S₁=a₁=2，
a₃=S₂=2+2=4，
a₄=S₃=2+2+4=8．
（2）由a₁=2，a₂=2，a₃=4，a₄=8，猜想${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2；當(dāng)n=2時(shí)，a₂=2，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，即${a}_{k}={2}^{k-1}$，k≥2，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k=2+2+4+8+…+2^k-1=2+$\frac{2（1-{2}^{k-1}）}{1-2}$=2^k，成立，
由①②，得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前四項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的猜想和證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推思想和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．