Question

19．已知：⊙O的方程為x²+y²=9，點(diǎn)A（5，0），過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AP，P為切點(diǎn)．
（1）求PA的長(zhǎng)；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)B（異于A點(diǎn)），滿(mǎn)足對(duì)⊙O上任意一點(diǎn)C，都有$\frac{CB}{CA}$為定值，若存在，求B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知OA=5，OP=r=3，利用勾股定理能求出PA．
（2）設(shè)x軸上存在點(diǎn)B（m，0），滿(mǎn)足對(duì)⊙O上任意一點(diǎn)C（x，$±\sqrt{9-{x}^{2}}$），都有$\frac{CB}{CA}$為定值$\sqrt{λ}$，從而$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+9-{x}^{2}}}{\sqrt{（x-5）^{2}+9-{x}^{2}}}=\sqrt{λ}$，由此能求出B點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵⊙O的方程為x²+y²=9，點(diǎn)A（5，0），過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AP，P為切點(diǎn)，
∴OA=5，OP=r=3，
∴PA=$\sqrt{O{A}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4．
（2）設(shè)x軸上存在點(diǎn)B（m，0），滿(mǎn)足對(duì)⊙O上任意一點(diǎn)C（x，$±\sqrt{9-{x}^{2}}$），都有$\frac{CB}{CA}$為定值$\sqrt{λ}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+9-{x}^{2}}}{\sqrt{（x-5）^{2}+9-{x}^{2}}}=\sqrt{λ}$，
整理，得：（10λ-2m）x+m²-34λ+9=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10λ-2m=0}\\{{m}^{2}-34λ+9=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{9}{25}}\\{m=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{m=5}\end{array}\right.$，（舍）
∴m=$\frac{9}{5}$．∴B（$\frac{9}{5}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線長(zhǎng)的求法，考查點(diǎn)B的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．