Question

11．公差不等于零的等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和S₃=9，且a₁．a(chǎn)₂．a(chǎn)₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知T_n為數(shù)列$\left\{{\left.{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}}\right.$的前項(xiàng)和，若T_n≤λa_n+1對(duì) 一切n∈Z^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公差d不等于零的等差數(shù)列{a_n}，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，可得T_n，再由參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性，即可得到所求范圍，可得最小值．

解答 解：（1）設(shè)公差d不等于零的等差數(shù)列{a_n}，
a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
由S₃=9，可得3a₁+3d=9，即為a₁+d=3，
a₁．a(chǎn)₂．a(chǎn)₅成等比數(shù)列，可得a₁a₅=a₂²，
即為a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²，
解得a₁=1，d=2（0舍去）
即有a_n=2n-1；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
由題意可得$\frac{n}{2n+1}$≤λ（2n+1），即為
λ≥$\frac{n}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4n+\frac{1}{n}+4}$，
由4n+$\frac{1}{n}$在[1，+∞）遞增，可得最小值為4+1=5，
由T_n≤λa_n+1對(duì) 一切n∈N^*恒成立，
可得λ≥$\frac{1}{5+4}$=$\frac{1}{9}$．
即有實(shí)數(shù)λ的最小值為$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性求最值，屬于中檔題．