Question

8．函數(shù)f（x）=alog₂（1+x）-log₂（1-x）圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）解不等式；f^-1（x）＞$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得函數(shù)為定義域為（-1，1）的奇函數(shù)，由f（-x）+f（x）=0可得a的方程，解方程可得a值；
（2）求反函數(shù)可得f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，代入解不等式可得．

解答 解：（1）由1+x＞0和1-x＞0可得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）=alog₂（1+x）-log₂（1-x）的定義域為（-1，1），
∵函數(shù)f（x）=alog₂（1+x）-log₂（1-x）圖象關(guān)于原點對稱，
∴函數(shù)f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，即alog₂（1-x）-log₂（1+x）+alog₂（1+x）-log₂（1-x）=0，
故（a-1）[log₂（1-x）-log₂（1+x）]=（a-1）log₂$\frac{1-x}{1+x}$=0，
∴a-1=0，解得a=1，故f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$；
（2）由（1）可得y=log₂$\frac{1+x}{1-x}$，∴$\frac{1+x}{1-x}$=2^y，解得x=$\frac{{2}^{y}-1}{{2}^{y}+1}$，
∴f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，由f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＞$\frac{1}{3}$可得3（2^x-1）＞2^x+1，
化簡可得2^x＞1，解得x＞0，故不等式的解集為{x|x＞0}

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及反函數(shù)以指數(shù)函數(shù)的知識，屬中檔題．