Question

9．設(shè)直線(xiàn)l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）．
（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若l與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為B，求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a分類(lèi)討論，利用截距式即可得出；
（2）y=-（a+1）x+a-2，由于l不經(jīng)過(guò)第二象限，可得$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（3）令x=0，解得y=a-2＜0，解得a范圍；令y=0，解得x=$\frac{a-2}{a+1}$＞0，解得a范圍．求交集可得：a＜-1．利用S_△AOB=$\frac{1}{2}$[-（a-2）]×$\frac{a-2}{a+1}$，變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）若2-a=0，解得a=2，化為3x+y=0．
若a+1=0，解得a=-1，化為y+3=0，舍去．
若a≠-1，2，化為：$\frac{x}{\frac{a-2}{a+1}}$+$\frac{y}{a-2}$=1，令$\frac{a-2}{a+1}$=a-2，化為a+1=1，解得a=0，可得直線(xiàn)l的方程為：x+y+2=0．
（2）y=-（a+1）x+a-2，
∵l不經(jīng)過(guò)第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，
解得：a≤-1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．
（3）令x=0，解得y=a-2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=$\frac{a-2}{a+1}$＞0，解得a＞2或a＜-1．
因此$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a＞2或a＜-1}\end{array}\right.$，解得a＜-1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|a-2||$\frac{a-2}{a+1}$|=$\frac{1}{2}$$|a+1+\frac{9}{a+1}-6|$=3+$\frac{1}{2}$$[（-a-1）+\frac{9}{-a-1}]$≥3+$\frac{1}{2}×2\sqrt{（-a-1）×\frac{9}{-a-1}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=-4時(shí)取等號(hào)．
∴△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)的方程、不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．