Question

7．己知函數(shù)f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲線y=f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=bx．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式：
（Ⅱ）當x∈R時，求證；f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圖象在點x=0處的切線為y=bx，求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得φ（x）_min=φ（0）=0，即可證明：f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立等價為$\frac{f（x）}{x}$＞k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）_min=g（1）=e-2，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 （Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知f（0）=1+a，f′（0）=1，
由在點x=0處的切線方程y=bx，可得1+a=0，b=1，
解得a=-1，b=1，
∴f（x）=e^x-x²-1．
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
當x∈（-∞，0）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；
當x∈（0，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，從而f（x）≥-x²+x．
（Ⅲ）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立即為$\frac{f（x）}{x}$＞k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{（x-1）（{e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$．
由y=e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，當x＞0時，函數(shù)遞增，當x＜0時，函數(shù)遞減，
可得x=1取得最小值0，
可知當x∈（0，+∞）時，e^x-x-1＞0恒成立，
令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．g（x）_min=g（1）=e-2．
∴k＜g（x）_min=g（1）=e-2，∴實數(shù)k的取值范圍為（-∞，e-2）．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求某點處的切線和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．