Question

11．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線l：y=x+2與以原點為圓心、以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設橢圓C₁的左、右焦點分別為F₁、F₂，若直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M．
（i）求點M的軌跡C₂的方程；
（ii）過點F₂作兩條相互垂直的直線交曲線C₂于A、C、B、D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得2a²=3b²．再由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，求出a，b，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）（ i）推導出動點M到定直線L₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，從而得到動點M的軌跡C₂是以L₁為準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線，由此能求出點M的軌跡C₂的方程．
（ ii）由題意令AC：y=k（x-1），則：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由此利用韋達定理、拋物線定義，結合已知條件能求出四邊形ABCD面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴2a²=3b²．
∵直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，∴b=$\sqrt{2}$，b²=2，∴a²=3．
∴橢圓C₁的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．（3分）
（2）（ i）∵|MP|=|MF₂|，
∴動點M到定直線L₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，
∴動點M的軌跡C₂是以L₁為準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線．
∴點M的軌跡C₂的方程為：y²=4x．（7分）
（ ii）由題意可知：直線AC的斜率存在且不為零，F(xiàn)₂（1，0），（8分）
令AC：y=k（x-1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
由韋達定理知：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，
由拋物線定義知：|AC|=|F₂A|+|F₂B|=（x₁+1）+（x₂+1）
=（x₁+x₂）+2=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$+2=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，
∵BD⊥AC，∴y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
同樣可得：|BD|=$\frac{4[（-\frac{1}{k}）^{2}+1]}{（-\frac{1}{k}）^{2}}$=4（1+k²），
則S_△BCD=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=8•$\frac{（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$=8（${k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2$）≥8（2+2）=32，（當且僅當k²=1時取“=”號）
∴四邊形ABCD面積的最小值是：8．（12分）

點評 本題考查橢圓方程和點的軌跡方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、拋物線定、橢圓性質、點到直線距離公式的合理運用．