Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），且離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線l過點P（0，2），且與橢圓C相交于A，B兩點，若|AB|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，求直線l的斜率k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓左焦點，求出c，再由離心率，求出a，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)A（設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），
∴由題意知c=1，
又∵離心率為$\frac{1}{2}$，∴e=$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=2，
∴b²=4-1=3，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，并整理，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
∵直線l與橢圓C相交于A，B兩點，∴△=192k²-48＞0，得k²＞$\frac{1}{4}$，
又x₁+x₂=$\frac{-16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{192{k}^{2}-48}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
整理，得100k⁴+3k²-103=0，
解得k²=1或${k}^{2}=-\frac{103}{100}$（舍），
∵k²=1滿足k²＞4，
∴直線l的斜率k的值為±1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．