Question

18．設(shè)a，b，c∈R⁺，求證：a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^a+cc^a+b．

Answer 1

分析 設(shè)a，b，c∈R⁺，且a≥b≥c，將原不等式作商，整理可得（$\frac{a}$）^a-b•（$\frac{c}$）^b-c•（$\frac{a}{c}$）^a-c．再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 證明：設(shè)a，b，c∈R⁺，且a≥b≥c，
$\frac{{a}^{2a}^{2b}{c}^{2c}}{{a}^{b+c}^{a+c}{c}^{a+b}}$=（$\frac{a}$）^a•（$\frac{a}$）^b•（$\frac{c}$）^b•（$\frac{c}$）^c•（$\frac{a}{c}$）^a•（$\frac{c}{a}$）^c
=（$\frac{a}$）^a-b•（$\frac{c}$）^b-c•（$\frac{a}{c}$）^a-c．
由a≥b≥c＞0，
可得a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0，
$\frac{a}$≥1，$\frac{c}$≥1，$\frac{a}{c}$≥1，
即有（$\frac{a}$）^a-b≥1，（$\frac{c}$）^b-c≥1，（$\frac{a}{c}$）^a-c≥1，
則有（$\frac{a}$）^a-b•（$\frac{c}$）^b-c•（$\frac{a}{c}$）^a-c≥1（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號），
則不等式a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^a+cc^a+b成立．

點評 本題考查不等式的證明，主要考查作商法證明不等式，同時考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．