Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx，m∈R
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤$\frac{m-1}{x}$-2m+1在[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后通過解導(dǎo)數(shù)大于零或小于零的不等式得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先將原不等式歸零化簡，然后通過求函數(shù)的最值解決問題，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可，注意分類討論．

解答 解：由題意可得，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}-m$．
（1）當m≤0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當m＞0時，令f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{1}{m}$，令f′（x）＜0，解得$x＞\frac{1}{m}$．
所以當m≤0時，此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當m＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{m}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{m}，+∞$）．
（2）因為$f（x）≤\frac{m-1}{x}-2m+1$在[1，+∞）上恒成立．
即$mx+\frac{m-1}{x}+1-2m-lnx≥0$在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$mx+\frac{m-1}{x}+1-2m-lnx，x∈[1，+∞）$，
則$g′（x）=m-\frac{m-1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{m（x-1）（x-\frac{1-m}{m}）}{{x}^{2}}$，
（1）當$\frac{1-m}{m}＞1$，即$0＜m＜\frac{1}{2}$時，若$1＜x＜\frac{1-m}{m}$，則g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；
（2）當$\frac{1-m}{m}≤1$，即$m≥\frac{1}{2}$時，
若x＞1，則g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，所以g（x）＞g（1）=0，
即$f（x）＜\frac{m-1}{x}-2m+1$，故當x≥1時，f（x）$≤\frac{m-1}{x}-2m+1$恒成立．
綜上所述，所求的正實數(shù)m的取值范圍是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的思路，以及不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解的基本思想．