Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PM⊥MN；
（2）求證：平面PMN⊥平面PBC；
（3）在PA上是否存在點(diǎn)Q，使得平面QMN∥平面PCD？若存在求出Q點(diǎn)位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）易證PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，可證PM⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，從而證明PM⊥MN；
（2）由（1）可得：PM⊥BC，又底面ABCD是正方形，M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)，可證BC⊥MN，從而證明BC⊥平面PMN，即可證明平面PMN⊥平面PBC；
（3）取PA的中點(diǎn)Q，連接QM，QN，可證QM∥PD，又MN∥DC，從而證明平面QMN∥平面PCD．

解答 證明：（1）∵△PAD是正三角形，M是AD的中點(diǎn)．
∴PM⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，PM?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，
∴PM⊥MN；
（2）∵由（1）可得：PM⊥BC，
又∵底面ABCD是正方形，M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)．
∴BC⊥MN，
∵PM∩MN=M，
∴BC⊥平面PMN，
∵BC?平面PBC，
∴平面PMN⊥平面PBC；
（3）當(dāng)Q為PA的中點(diǎn)時(shí)，使得平面QMN∥平面PCD，
證明：如圖，取PA的中點(diǎn)Q，連接QM，QN，
∵Q，M分別為PA，AD的中點(diǎn)，
∴△APD中，QM∥PD，
∵底面ABCD是正方形，M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)．
∴MN∥DC，
又∵M(jìn)N∩QM=M，CD∩PD=D，
∴平面QMN∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面與平面垂直的判定，平面與平面平行的判定，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．