Question

10．在四棱錐P-ABCD中，各側(cè)面是全等的等腰三角形，腰長(zhǎng)為4且頂角為30°，底面是正方形（如圖），在棱PB，PC上各有一點(diǎn)M、N，且四邊形AMND的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)S從A出發(fā)依次沿四邊形AM，MN，ND運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D，記點(diǎn)S行進(jìn)的路程為x，棱錐S-ABCD的體積為V（x），則函數(shù)V（x）的圖象是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據(jù)棱錐的體積公式求出函數(shù)的解析式，并根據(jù)正四棱錐側(cè)面展開(kāi)圖，從A到D最短距離為直角三角形PAD的斜邊為4$\sqrt{2}$，求出x的范圍，判斷函數(shù)的圖象即可．

解答 解：四棱錐P-ABCD中，各側(cè)面是全等的等腰三角形，腰長(zhǎng)為4且頂角為30°，
∴BC²=PB²+PC²-2PB•PCcos30°=16+16-2×4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=32-16$\sqrt{3}$，
∴底面正方形的面積s=32-16$\sqrt{3}$，h=xtan30°，
∴V（x）=$\frac{1}{3}$sh=$\frac{32-16\sqrt{3}}{3}$xtan30°，為線性函數(shù)，
∵四邊形AMND的周長(zhǎng)最小，正四棱錐側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，
∴正四棱錐側(cè)面展開(kāi)圖，從A到D最短距離為直角三角形PAD的斜邊為4$\sqrt{2}$，
∴x≤4$\sqrt{2}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法，棱錐的體積公式，最短路線問(wèn)題，屬于中檔題．