Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+a，若{a_n}為等比數(shù)列，則a=-1．

Answer 1

分析 由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，分別求出a₁，a₂，a₂，再由{a_n}為等比數(shù)列，得到${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，由此能求出a的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+a，
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}+a$，
a₂=S₂-S₁=$\frac{1}{4}+a-\frac{1}{2}-a$=-$\frac{1}{4}$，
a₃=S₃-S₂=$\frac{1}{8}+a-\frac{1}{4}-a$=-$\frac{1}{8}$，
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，即（-$\frac{1}{4}$）²=（$\frac{1}{2}+a$）•（-$\frac{1}{8}$），
解得a=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查數(shù)列中實數(shù)a的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．