Question

8．設(shè)$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），且tanα=\frac{1+sinβ}{cosβ}，則2α-β$=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得sin（α-β）=sin（$\frac{π}{2}$-α），由角的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ，
∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，
∴sin（α-β）=cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α），
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{π}{2}$-α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵函數(shù)y=sinx在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，
∴由sin（α-β）=sin（$\frac{π}{2}$-α）可得α-β=$\frac{π}{2}$-α，
變形可得2α-β=$\frac{π}{2}$
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．