【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若函數(shù)在區(qū)間為自然對數(shù)的底數(shù))上有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)若在為自然對數(shù)的底數(shù))上存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)(2).

【解析】

1)求得,對的范圍分類,即可判斷函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合即可判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有唯一的零點(diǎn),問題得解。

2)將問題轉(zhuǎn)化為:函數(shù)上的最小值小于零.求得,對的范圍分類即可判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求得的最小值,問題得解。

(1),其中.

①當(dāng)時(shí),恒成立,單調(diào)遞增,

又∵,函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn),符合題意.

②當(dāng)時(shí),恒成立,單調(diào)遞減,

又∵,函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn),符合題意.

③當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞減,

又∵,∴

∴函數(shù)在區(qū)間有唯一的零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)符合題意,即,

時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn);

的取值范圍是.

(2)在上存在一點(diǎn),使得成立,等價(jià)于上有解,即函數(shù)上的最小值小于零.

①當(dāng)時(shí),即時(shí),上單調(diào)遞減,所以的最小值為,由可得,∵,∴;

②當(dāng)時(shí),即時(shí),上單調(diào)遞增,所以的最小值為,由可得;

③當(dāng)時(shí),即時(shí),

可得的最小值為,∵,∴,,所以不成立.

綜上所述:可得所求的取值范圍是.

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