Question

8．如圖，三棱錐S-ABC中，點(diǎn)M，N，P分別為棱SA，SB，SC的中點(diǎn)，且∠PMN=90°．
（1）求證：平面PMN∥平面ABC；
（2）若平面SAC⊥平面ABC，求證：平面SAC⊥平面SAB．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出MP∥AC，MN∥AB，從而MP∥平面ABC，同理，MN∥平面ABC，由此能證明平面PMN∥平面ABC．
（2）由MP∥AC，MN∥BA，推導(dǎo)出∠CAB=∠PMN=90°，從而AB⊥AC，進(jìn)而AB⊥平面SAC，由此能證明平面SAC⊥平面SAB．

解答 證明：（1）∵點(diǎn)M，N，P分別為SA、SB、SC的中點(diǎn)，
∴MP∥AC，MN∥AB，
又MP?平面ABC，AC?平面ABC，
∴MP∥平面ABC，
同理，MN∥平面ABC，
又MP∩MN=M，MP、MN?平面PMN，
∴平面PMN∥平面ABC．
（2）由（1）知MP∥AC，MN∥BA，
又∠PMN與∠CAB的對應(yīng)邊方向相同，
∴∠CAB=∠PMN=90°，∴AB⊥AC，
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，AB?平面ABC，
∴AB⊥平面SAC，又AB?平面SAB，
∴平面SAC⊥平面SAB．

點(diǎn)評 本題考查面面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．