Question

5．已知正數(shù)a，b滿足a+4b=4，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵正數(shù)a，b滿足a+4b=4，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）
=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$）=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}$即a=$\frac{4}{3}$且b=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，“1”的代換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．