Question

12．已知 {a_n}，{b_n}均為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為 S_n，T_n．
（1）若對(duì) n∈N^*，有 $\frac{S_n}{T_n}=\frac{31n+101}{n+3}$，求 $\frac{a_n}{b_n}$的最大值．
（2）若平面內(nèi)三個(gè)不共線向量 $\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$滿足 $\overrightarrow{OC}={a_3}\overrightarrow{OA}+{a_{15}}\overrightarrow{OB}$，且A，B，C三點(diǎn)共線．是否存在正整數(shù)n，使 S_n為定值？若存在，請(qǐng)求出此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意和等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得 $\frac{a_n}{b_n}$=$31+\frac{4}{n+1}$，由函數(shù)的單調(diào)性可得；
（2）由題意和向量的知識(shí)可得a₃+a₁₅=1，進(jìn)而又等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₁+a₁₇=1，代入等差數(shù)列的求和公式可得${S_{17}}=\frac{{17（{a_1}+{a_{17}}）}}{2}=\frac{17}{2}$，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\frac{a_n}{b_n}=\frac{{\frac{{{a_1}+{a_{2n-1}}}}{2}}}{{\frac{{{b_1}+{b_{2n-1}}}}{2}}}=\frac{{{S_{2n-1}}}}{{{T_{2n-1}}}}=\frac{31n+35}{n+1}$=$31+\frac{4}{n+1}$．
由反比例函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)n=1時(shí)，式子取最大值33；
（2）∵A，B，C三點(diǎn)共線，
∴假設(shè)存在正整數(shù)n，使$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$，
即$\overrightarrow{OC}=（1-λ）\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$．
由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}1-λ={a_3}\\ λ={a_{15}}\end{array}\right.$，
消去λ得a₃+a₁₅=1，又a₃+a₁₅=a₁+a₁₇，
∴${S_{17}}=\frac{{17（{a_1}+{a_{17}}）}}{2}=\frac{17}{2}$．
即存在n=17時(shí)，S₁₇為定值$\frac{17}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及函數(shù)和平面向量的知識(shí)，屬中檔題．