Question

14．已知直線l的方程為mx-y+1-m=0，圓C的方程為x²+（y-1）²=5．
（1）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）已知D（-2，0），E（2，0）為x軸上的兩點(diǎn)，若圓C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PD|、|PO|、|PE|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB斜率存在時(shí)，由K_AB•K_CM=-1，可得$\frac{y-1}{x-1}$×$\frac{y-1}{x-0}$=-1，化簡(jiǎn)可得AB中點(diǎn)M的軌跡方程；當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)也滿(mǎn)足此軌跡方程，從而得出結(jié)論．
（2）根據(jù)圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PD|、|PO|、|PE|成等比數(shù)列，列出方程，再根據(jù)點(diǎn)P在圓內(nèi)求出取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，由題意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
再由 K_AB=K_MH=$\frac{y-1}{x-1}$，K_CM=$\frac{y-1}{x-0}$，
∴$\frac{y-1}{x-1}$×$\frac{y-1}{x-0}$=-1，化簡(jiǎn)可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
即AB中點(diǎn)M的軌跡方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=1，此時(shí)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），
也滿(mǎn)足（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
綜上可得，AB中點(diǎn)M的軌跡方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
（2）設(shè)P（x，y），由|PD|、|PO|、|PE|成等比數(shù)列，得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
即x²-y²=2．
$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}＜5}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
由此得y²-y-1＜0，解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜y＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
所以$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范圍為[-2，1+$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求點(diǎn)的軌跡方程，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．