Question

6．已知一個平放的正四面體的各棱長均為4，其內(nèi)有一輕質(zhì)小球（不計重量），現(xiàn)從正四面體頂端向內(nèi)注水，球慢慢上浮，當球與正四面體各側(cè)面均相切（與水面也相切）時，若注入的水的體積是正四面體體積的$\frac{7}{8}$，則球的表面積等于．

• A． $\frac{7}{6}$π
• B． $\frac{4}{3}$π
• C． $\frac{2}{3}$π
• D． $\frac{1}{2}$π

Answer 1

分析 先求出沒有水的部分的體積是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再求出棱長為2，可得小球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：由題意，沒有水的部分的體積是正四面體體積的$\frac{1}{8}$，
∵正四面體的各棱長均為4，
∴正四面體體積為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴沒有水的部分的體積是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
設其棱長為a，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴a=2，
設小球的半徑為r，則4×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$r=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴球的表面積S=4$π•\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}π$．
故選：C

點評 本題考查球的表面積，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，正確求出半徑是關(guān)鍵．