Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓上的一點(diǎn)M滿足MF₁⊥MF₂，|MA|=|MO|，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{7}}{7}$

Answer 1

分析 過(guò)M作MN⊥x軸，交x軸于N，不妨設(shè)M在第一象限，從而得到M（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}b$），由此利用MF₁⊥MF₂，能求出橢圓的離心率．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
橢圓上的一點(diǎn)M滿足MF₁⊥MF₂，|MA|=|MO|，
過(guò)M作MN⊥x軸，交x軸于N，不妨設(shè)M在第一象限，
∴N是OA的中點(diǎn)，∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{a}{2}$，∴M點(diǎn)縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
∴F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），${S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}×2c×\frac{\sqrt{3}}{2}b$=$\frac{\sqrt{3}}{2}bc$，
$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（$\frac{a}{2}+c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}b$）•（$\frac{a}{2}-c，\frac{\sqrt{3}}{2}b$）=$\frac{{a}^{2}}{4}-{c}^{2}+\frac{3}{4}^{2}$=0，
∴4c²=a²+3b²=a²+3a²-3c²，∴4a²=7c²，∴2a=$\sqrt{7}c$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．