Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}{cos^2}$ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期為π．
（1）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若$f（\frac{A}{2}）=\sqrt{3}$，且a=4，b+c=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的周期性求得ω可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．
（2）由條件求得A，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面積．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1+cos2ωx）+\frac{1}{2}sin2ωx=sin（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∵f（x）的周期為π，且ω＞0，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，解得ω=1，∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又$0≤x≤\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4}{3}π$，$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，$0≤sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1$，
即函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域?yàn)?[0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1]$．
（2）∵$f（\frac{A}{2}）=\sqrt{3}$，∴$sin（A+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由A∈（0，π），知$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{4}{3}π$，
解得：$A+\frac{π}{3}=\frac{2}{3}π$，所以$A=\frac{π}{3}$．
由余弦定理知：a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²-bc，∴16=（b+c）²-3bc．
因?yàn)閎+c=5，所以bc=3，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{3}{4}\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的定義域和值域，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．