已知在一個(gè)極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2,
π
3
)

(1)求出以C為圓心,半徑長(zhǎng)為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)并畫出圖形
(2)在直角坐標(biāo)系中,以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn),Q(5,-
3
)
,M是線段PQ的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡的普通方程.
考點(diǎn):簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程
專題:坐標(biāo)系和參數(shù)方程
分析:(1)如圖,設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(ρ,θ),則∠AOC=θ-
π
3
π
3
.由余弦定理得:4+ρ2-4cos(θ-
π
3
)=4
,化簡(jiǎn)即可得出.
(2)利用圓的方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的參數(shù)方程
x=
6+2cosα
2
y=
2sinα
2
,消去參數(shù)即可得到普通方程.
解答: 解:(1)如圖,設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(ρ,θ),則∠AOC=θ-
π
3
π
3

由余弦定理得:4+ρ2-4cos(θ-
π
3
)=4

∴圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cos(θ-
π
3
)

(2)在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,
3
)
,可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P(1+2cosα,
3
+2sinα)

又令M(x,y)由Q(5,-
3
)
,M是線段PQ的中點(diǎn).
∴M的參數(shù)方程為:
x=
6+2cosα
2
y=
2sinα
2
 
x=3+cosα
y=sinα
(α為參數(shù))

∴點(diǎn)M的軌跡的普通方程為:(x-3)2+y2=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、中點(diǎn)坐標(biāo)方程、余弦定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,若f(
1
3
)=
3
4
,4f(log8x)>3,則x的取值范圍是( 。
A、(0,
1
2
B、(
1
2
,2)
C、(
1
2
,1]∪(2,+∞)
D、(0,
1
8
)∪(
1
2
,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)變量x、y滿足
x+y≥1
x-y≥0
2x-y-2≥0
則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
1+3x
2
-
|1-3x|
2
,則f(x)的值域是(  )
A、(0,2]
B、(0,3]
C、[1,2]
D、(0,1]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)正數(shù)a,b,c滿足
1
a
+
4
b
+
9
c
36
a+b+c
,則
2b+3c
a+b+c
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若將函數(shù)y=sin(2x-
π
4
)的圖象向左平移φ個(gè)單位,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的最小正值是( 。
A、
π
8
B、
π
4
C、
8
D、
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)y=x2-2ax+1在區(qū)間[-1,2]上存在反函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等比數(shù)列{an}滿足anan+1=9n,則{an}的公比為( 。
A、3B、±3C、9D、±9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(5,2),
b
=(-4,-3),
c
=(x,y),若3
a
-2
b
+
c
=
0
,則
c
=(  )
A、(-23,-12)
B、(23,12)
C、(7,0)
D、(-7,0)

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