Question

16．已知命題p：函數(shù)y=（a-1）^x在R上單調(diào)遞增；命題q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意的實數(shù)x恒成立，若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q成立的等價條件，利用p∨q為真，p∧q為假，確定實數(shù)a的取值范圍

解答 解：若函數(shù)函數(shù)y=（a-1）^x在R上單調(diào)遞增，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知a-1＞1，即p：a＞2．
若不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數(shù)x恒成立，
當a=2時，不等式等價為-4＜0，成立．
當a≠0時，要使不等式恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜a＜2，
綜上：-2＜a≤2，即q：-2＜a≤2，
若p∨q為真，p∧q為假，
則p，q一真一假，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{-2＜a≤2}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤2．
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≤-2，或a＞2}\end{array}\right.$，解得a＞2．
綜上：實數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞）．

點評 本題主要考查復合命題與簡單命題之間的真假關(guān)系，先求出命題p，q成立的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．