Question

15．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明：直線l恒過定點，并判斷直線l與圓的位置關(guān)系；
（2）當直線l被圓C截得的弦長最短時，求直線l的方程及最短弦的長度．

Answer 1

分析 （1）先化簡直線方程：將m分離出來，列出方程組求出定點的坐標，判斷出定點與圓的位置關(guān)系，可得到直線l與圓的位置關(guān)系；
（2）當直線l垂直于CD時被截得的弦長最短，求出CD的斜率，由直線垂直的條件求出直線l的斜率，結(jié)合定點的坐標求出直線l的方程，由弦長公式求出最短弦的長度．

解答 解：（1）直線l的方程：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
整理得：（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，
∵m∈R，∴$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}}\right.$，解得x=3，y=1，
即直線l恒過定點D（3，1）…（4分）
把D點的坐標代入圓C的方程：（3-1）²+（1-2）²＜25，
所以點D在圓內(nèi)，直線l經(jīng)過圓C內(nèi)的一點D，
故直線l與圓C相交．…（6分）
（2）當直線l垂直于CD時，被截得的弦長最短
由C（1，2），D（3，1）∴${k_{CD}}=-\frac{1}{2}$，
所以直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的斜率為2，
此時直線l的方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0…（9分）
又$|CD|=\sqrt{5}$，所以，最短弦長為$2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$
所以，直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為2x-y-5=0，
最短弦長為$2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$…（12分）

點評 本題考查直線與圓的綜合問題，直線過定點，直線垂直的條件以及直線方程，以及直線與圓相交時的弦長問題，屬于中檔題．