Question

15．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并判斷直線l與圓的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求直線l的方程及最短弦的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）先化簡(jiǎn)直線方程：將m分離出來(lái)，列出方程組求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷出定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可得到直線l與圓的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)直線l垂直于CD時(shí)被截得的弦長(zhǎng)最短，求出CD的斜率，由直線垂直的條件求出直線l的斜率，結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線l的方程，由弦長(zhǎng)公式求出最短弦的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）直線l的方程：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
整理得：（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，
∵m∈R，∴$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}}\right.$，解得x=3，y=1，
即直線l恒過(guò)定點(diǎn)D（3，1）…（4分）
把D點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程：（3-1）²+（1-2）²＜25，
所以點(diǎn)D在圓內(nèi)，直線l經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)的一點(diǎn)D，
故直線l與圓C相交．…（6分）
（2）當(dāng)直線l垂直于CD時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最短
由C（1，2），D（3，1）∴${k_{CD}}=-\frac{1}{2}$，
所以直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的斜率為2，
此時(shí)直線l的方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0…（9分）
又$|CD|=\sqrt{5}$，所以，最短弦長(zhǎng)為$2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$
所以，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為2x-y-5=0，
最短弦長(zhǎng)為$2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的綜合問(wèn)題，直線過(guò)定點(diǎn)，直線垂直的條件以及直線方程，以及直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，屬于中檔題．