Question

20．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，b為常數(shù)）的一段圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)的極小值點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成數(shù)列{a_n}，設(shè)右側(cè)的第一個極小值點(diǎn)的橫坐標(biāo)為首項(xiàng)為a₁，試求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出A，ω和φ，b的值即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)的最小值即函數(shù)的極小值，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由圖象知函數(shù)的最大值為5，最小值為-1，
即$\left\{\begin{array}{l}{A+b=5}\\{-A+b=-1}\end{array}\right.$，得A=3，b=2，
$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，
則函數(shù)的周期T=π，
即$\frac{2π}{ω}=π$得ω=2，
即f（x）=3sin（2x+φ）+2，
∵f（$\frac{π}{6}$）=3sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）+2=5，
即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
則$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，
得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，
∵0＜φ＜π，
∴當(dāng)k=0時，φ=$\frac{π}{6}$，
則f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2；
（2）由3sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2=-1，
得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，
即2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$+2kπ，
即x=$\frac{2π}{3}$+kπ，
即函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)為x=$\frac{2π}{3}$+kπ，
則右側(cè)的第一個極小值為a₁=$\frac{2π}{3}$，a₂=$\frac{2π}{3}$+π，
則數(shù)列{a_n}是一個公差d=π的等差數(shù)列，
則a_n=$\frac{2π}{3}$+（n-1）π=$\frac{3n-1}{3}$π，
則$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）•$\frac{1}{π}$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{π}$•（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{1}{π}$•（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{1}{π}$•（$\frac{3}{2π}$-$\frac{3}{5+3n}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)圖象求出A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和是解決本題的關(guān)鍵．