Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n（n∈N^*），試求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．可得：2（a₂+1）=a₁+a₃．解得a₁．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．
（II）b_n=log₂a_n=n，可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（I）∵數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃．
∴4a₁+2=a₁+4a₁，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=log₂a_n=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．