Question

4．已知（$\sqrt{2+\sqrt{3}}$）^x+（$\sqrt{2-\sqrt{3}}$）^x=4．求x的值．

Answer 1

分析 利用分子有理化，化簡兩根根式在，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}{2+\sqrt{3}}}$=$\sqrt{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$，
∴方程等價(jià)為（$\sqrt{2+\sqrt{3}}$）^x+（$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$）^x=4，
設(shè)t=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$，則t＞1，
則方程等價(jià)為t^x+（$\frac{1}{t}$）^x=4，
即（t^x）²-4t^x+1=0，
則t^x=$\frac{4±\sqrt{16-4}}{2}$=$\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$=2±$\sqrt{3}$，
若t^x=2-$\sqrt{3}$，即（$\sqrt{2+\sqrt{3}}$）^x=（2+$\sqrt{3}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=2+$\sqrt{3}$，
即$\frac{x}{2}$=1，則x=2，
若t^x=2-$\sqrt{3}$，即（$\sqrt{2+\sqrt{3}}$）^x=（2+$\sqrt{3}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=2-$\sqrt{3}$=$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$=（2+$\sqrt{3}$）^-1，
則$\frac{x}{2}$=-1，則x=-2，
綜上所述，x=2或-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．