Question

12．已知點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，-1），Q（sin2x，cos2x），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$．
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若A為△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，f（A）=2，a=5，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合輔助角公式化積，再由y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）由（1）及f（A）=2求得角A，再由正弦定理把b，c用含有角B的代數(shù)式表示，作和后利用三角函數(shù)的最值得答案．

解答 解：（1）∵P（$\sqrt{3}$，-1），Q（sin2x，cos2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由2x-$\frac{π}{6}=kπ$，得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，0$）；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）由f（A）=2，得$2sin（2A-\frac{π}{6}）=2$，即$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$．
又2A$-\frac{π}{6}$∈（$-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}$），
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，則A=$\frac{π}{3}$．
∵a=5，
∴$b=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}sinB=\frac{10\sqrt{3}}{3}sinB$，c=$\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（\frac{2π}{3}-B）$．
∴△ABC周長(zhǎng)L=5+$\frac{10\sqrt{3}}{3}sinB+\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（\frac{2π}{3}-B）$
=5+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$=$5+10sin（B+\frac{π}{6}）$．
∵0$＜B＜\frac{2}{3}π$，∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$），
則sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]．
∴L∈（10，15]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積運(yùn)算問題，也考查了三角恒等變換與三角函數(shù)最值的求法，是中檔題．