Question

18．已知f（x）=$\frac{{x}^{3}-3x+a}{x}$，f（x）＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]時恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 把f（x）＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]時恒成立，轉(zhuǎn)化為a＞-x³+3x在x∈[$\frac{1}{2}$，2]時恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）=-x³+3x在x∈[$\frac{1}{2}$，2]時的最大值得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{3}-3x+a}{x}$，
由f（x）＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]時恒成立，得
x³-3x+a＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]時恒成立，
即a＞-x³+3x在x∈[$\frac{1}{2}$，2]時恒成立，
令g（x）=-x³+3x，則g′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
∴當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，1）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，2]時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（1）=2，
∴a＞2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了分離變量法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．