Question

14．已知直線1：y=kx+$\frac{1}{2}$與離心率為e的雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，0＜b＜$\frac{1}{2}$）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，若對任意的k∈R，x₁x₂+y₁y₂恒為定值，則有（　�。�

• A． e²=$\frac{2}{1-4^{2}}$
• B． e²=$\frac{1}{1-4^{2}}$
• C． e²=$\frac{1+4^{2}}{1-4^{2}}$
• D． e²=1-4b²

Answer 1

分析 k取0，則y=$\frac{1}{2}$，k=$\frac{1}{2a}$，y=$\frac{1}{2a}$x+$\frac{1}{2}$，分別求出x₁x₂+y₁y₂，列出等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，k取0，則y=$\frac{1}{2}$，x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{1}{4}$
取A（-a，0），k=$\frac{1}{2a}$，y=$\frac{1}{2a}$x+$\frac{1}{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$（^{2}-\frac{1}{4}）{x}^{2}$-$\frac{a}{2}$x-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a²b²=0，
∴x₁x₂=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}^{2}}{1-4^{2}}$，∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}^{2}}{1-4^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}^{2}}{1-4^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{1}{4}$
∴e²=$\frac{1+4^{2}}{1-4^{2}}$．
故選：C．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，取特殊點是解題的關(guān)鍵．