Question

6．已知函數(shù)f（x）=（a-2）x-ax³在區(qū)間[-1，1]上的最大值為2，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，10]
• B． [-1，8]
• C． [-2，2]
• D． [0，9]

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=（a-2）x-ax³在區(qū)間[-1，1]上的最大值為2，由函數(shù)解析式先求其導函數(shù)，進而可判斷函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值，即可求出a的范圍．

解答 解∵f（x）=（a-2）x-ax³，
∴f′（x）=（a-2）-3ax²，
當-1≤a≤2，f′（x）＜0在[-1，1]恒成立，
∴f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-1）=（a-2）×（-1）-a（-1）³=2-a+a=2，滿足題意，
當a＜-1，或a＞2時，
令f′（x）=（a-2）-3ax²=0，解得x=±$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$
設y=$\frac{a-2}{3a}$，如圖
由圖象可得0＜y＜1，
∴$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$＜1，-$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$＞-1，
當a＜-1時，f（x）在[-1，-$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）和（$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$，1]上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$，$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）單調(diào)遞減，
故當x=-$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$取得極大值，
則f（-$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）≤2，
即（a-2）（-$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）-a（-$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）³≤2，
即（a-2）³-27a≥0，
當a＞2時，f（x）在[-1，-$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）和（$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$，1]上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$，$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）單調(diào)遞增，
故當x=$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$取得極大值，
則f（$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）≤2，
即（a-2）$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$-a（$\sqrt{\frac{a-2}{3a}}$）³≤2，
即（a-2）³-27a≤0，
設g（a）=（a-2）³-27a，并畫出圖象，

由圖象可知，
當2＜a≤8時，滿足題意，
綜上所述：a的取值范為[-1，8]，
故選：B．

點評 此題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考查了學生在函數(shù)字母的不等式分類討論思想及學生的計算能力，屬于難題．