Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m＞0．
（1）求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）求g（x）的單調區(qū)間；
（3）若a＞0，b＞0，證明：f（a）+（a+b）1n2≥f（a+b）-f（b）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），可直接求得g（x）的定義域．
（2）求g（x）的導函數(shù)g'（x），然后分別對g'（x）＞0以及g'（x）＜0兩種情況進行討論．繼而求得g（x）的單調區(qū)間
（3）根據(jù)（2）的結論，按照g（x）的單調性，證明f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2，整理即為結論．

解答 解：（1）根據(jù)題意，f（x）的定義域為{x|x＞0}，
要使g（x）有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{m-x＞0}\end{array}\right.$，
那么g（x）的定義域為{x|0＜x＜m}．
（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）
則g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1=ln$\frac{x}{m-x}$
由g′（x）＞0，得$\frac{x}{m-x}＞1$，
解得：$\frac{m}{2}＜x＜m$
由g′（x）＜0
得：$0＜\frac{x}{m-x}＜1$
解得：$0＜x＜\frac{m}{2}$
∴g（x）在$[\frac{m}{2}，m）$上為增函數(shù)，
在（0，$\frac{m}{2}$）上為減函數(shù)
（3）要證f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
只須證f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2
而在（2）中，取m=a+b，
則g（x）=f（x）+f（a+b-x）
則g（x）在[$\frac{a+b}{2}$，a+b）上為增函數(shù)，
在$（0，\frac{a+b}{2}]$上為減函數(shù)．
∴g（x）的最小值為：
g（$\frac{a+b}{2}$）=f（$\frac{a+b}{2}$）+f（a+b-$\frac{a+b}{2}$）=2f（$\frac{a+b}{2}$）=（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$
=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2
那么g（a）≥g（$\frac{a+b}{2}$）
得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2
即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

點評 本題考查不等式的證明，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)單調性及其應用，以及對數(shù)函數(shù)的定義域．通過對知識的靈活運用，考查對知識的理解與認知．屬于中檔題．