Question

2．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹
（1）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，即可證得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，進一步得到a_n．

解答 （1）證明：由a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1$，
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
∴b_n+1-b_n=1，
∴數(shù)列{b_n}是以$_{1}=\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）得，$_{n}=\frac{1}{2}+（n-1）×1=n-\frac{1}{2}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（n-\frac{1}{2}）$，
∴${a}_{n}=（n-\frac{1}{2}）•{2}^{n}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．