Question

5．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點(diǎn)E、F，且EF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（　　）
①EF∥平面ABCD；
②平面ACF⊥平面BEF；
③三棱錐E-ABF的體積為定值；
④存在某個位置使得異面直線AE與BF成角30^o．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，由EF∥BD，能推導(dǎo)出EF∥平面ABCD；在②中，連接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD₁，可知AC⊥面BDD₁B₁，從而得到面ACF⊥平面BEF；在③中，三棱錐E-ABF的體積與三棱錐A-BEF的體積相等，從而三棱錐E-ABF的體積為定值；在④中，令上底面中心為O，得到存在某個位置使得異面直線AE與BF成角30°．

解答 解：由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點(diǎn)E、F，且EF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，知：
在①中，由EF∥BD，且EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正確；
在②中，連接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD₁，可知AC⊥面BDD₁B₁，
而BE?面BDD₁B₁，BF?面BDD₁B₁，∴AC⊥平面BEF，
∵AC?平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正確；
在③中，三棱錐E-ABF的體積與三棱錐A-BEF的體積相等，
三棱錐A-BEF的底面積和高都是定值，故三棱錐E-ABF的體積為定值，故③正確；
在④中，令上底面中心為O，當(dāng)E與D₁重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與O重合，
則兩異面直線所成的角是∠OBC₁，可求解∠OBC₁=30⁰，
故存在某個位置使得異面直線AE與BF成角30°，故④正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．