Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為（2，0），(

2 3

3

，

π

2

)，圓C的參數(shù)方程為

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ為參數(shù)）．①設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程；②判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：①利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得到點(diǎn)M，N的直角坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程．
②把圓C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d，與半徑r比較即可得出位置關(guān)系．

解答：解：①直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為（2，0），(

2 3

3

，

π

2

)，分別化為直角坐標(biāo)：M（2，0），N(0，

2 3

3

)．
∴線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，

3

3

)，∴kOP=

3

3

．∴直線OP的平面直角坐標(biāo)方程為：y=

3

3

x．
②由圓C的參數(shù)方程為

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ為參數(shù)）消去參數(shù)θ可得(x-2)2+(y+

3

)2=4，可得圓心C(2，-

3

)，半徑r=2．
∴圓心C到直線l的距離d=

|2+3|

12+(- 3 )2

=

5

2

＞2=r．
因此直線l與圓C相離．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)斜式方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系的判定等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．