Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）在[-1，t]上的最小值為N（t），最大值為M（t），若存在最小正整數(shù)k，使得M（t）-N（t）≤k（t+1）對任意t∈（-1，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間（-1，b]上的“k階δ函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=x²為區(qū)間（-1，4]上的“k階δ函數(shù)”，則k的值為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由新定義知，重點在于確定函數(shù)f（x）=x²在[-1，t]上的最值，故討論以確定函數(shù)的最值，再由最值確定各段上的最小值k，從而確定k的值．

解答 解：①當(dāng)-1＜t＜0時，
f（x）=x²在[-1，t]上的最小值N（t）=t²，最大值M（t）=1，
故M（t）-N（t）=1-t²=（1-t）（1+t）≤2（1+t）；
②當(dāng)0≤t≤1時，
f（x）=x²在[-1，t]上的最小值N（t）=0，最大值M（t）=1，
故M（t）-N（t）=1≤1+t；
③當(dāng)1＜t≤4時，
f（x）=x²在[-1，t]上的最小值N（t）=0，最大值M（t）=t²，
故M（t）-N（t）=t²≤4（1+t）；
綜上所述，
k=4；
故選A．

點評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受與轉(zhuǎn)化能力及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．